1.设随机变量X的概率分布列为 dfrac (x)(p)|dfrac (-1)(2a2a), 求(1)常数a的值(2)X的分布函-|||-数(3)-|||-(-1leqslant xleqslant dfrac (3)(2))-|||-(4) =((x-1))^2 的分布列

考查要点：本题主要考查离散型随机变量的概率分布列、分布函数的求解，以及事件概率的计算和函数变换后的分布列推导。

解题思路：

1. 求常数a：利用概率分布列的性质（所有概率之和为1）列方程求解。
2. 分布函数：根据离散型随机变量的定义，分段表示概率累积。
3. 事件概率：确定随机变量在区间内的可能取值，累加对应概率。
4. 函数变换后的分布列：通过代入原变量的取值，计算新变量的可能值及对应概率。

关键点：

• 概率和为1是求解a的核心。
• 分布函数需注意分段点的取值。
• 事件概率需明确区间内包含的变量取值。
• 函数变换需逐一计算新变量的值并合并相同结果的概率。

(1) 求常数a的值

根据概率分布列的性质，所有概率之和为1：
$2a + 2a + a = 1 \implies 5a = 1 \implies a = \frac{1}{5}.$

(2) 求X的分布函数

分布函数$F(x) = P(X \leq x)$分段表示为：

• 当$x < -1$时，$F(x) = 0$；
• 当$-1 \leq x < 0$时，$F(x) = P(X = -1) = \frac{2}{5}$；
• 当$0 \leq x < 3$时，$F(x) = P(X = -1) + P(X = 0) = \frac{4}{5}$；
• 当$x \geq 3$时，$F(x) = 1$。

(3) 求$P(-1 \leq X \leq \frac{3}{2})$

区间$[-1, \frac{3}{2}]$包含$X$的取值$-1$和$0$，对应概率为：
$P(X = -1) + P(X = 0) = \frac{2}{5} + \frac{2}{5} = \frac{4}{5}.$

(4) 求$Y = (X-1)^2$的分布列

• 当$X = -1$时，$Y = (-1-1)^2 = 4$，概率为$\frac{2}{5}$；
• 当$X = 0$时，$Y = (0-1)^2 = 1$，概率为$\frac{2}{5}$；
• 当$X = 3$时，$Y = (3-1)^2 = 4$，概率为$\frac{1}{5}$；
  合并相同取值的概率：
• $Y = 1$时，概率为$\frac{2}{5}$；
• $Y = 4$时，概率为$\frac{2}{5} + \frac{1}{5} = \frac{3}{5}$。